リーグ戦（総当たり戦）の試合数を計算する方法。数学、確率・組み合わせ

2021年11月30日2023年9月27日

スポーツの大会で「リーグ戦」という言葉を聞いたことがあると思います。トーナメント戦は勝ち抜き戦に対して、リーグ戦とは総当たり戦のことで、文字通り全ての相手と対戦する方式です。試合数は当然多くなりますが総試合数を、数学的に考え、計算によって求める方法を紹介します。

表を利用して求める

動画による解説は こちら（クリック）↓

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ の６チームが試合をする場合で考えてみましょう。

トーナメント戦でしたら、総試合数は５試合になります。

トーナメントの試合数を求める方法は こちら をご覧ください。
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トーナメントの試合数を、数学的に理解し、瞬時に求める方法

リーグ戦の試合数の求め方として、表を利用する方法があります。これはリーグ表と言われ、よく使われていますので、ご覧になったことがあるのではないでしょうか？

Ａ～Ｆの６チームのリーグ表は下記のようになります。縦軸と横軸が交わる空欄に試合結果を記入します。斜線は自身同士なので試合はありません。

次に下の表を見てください。例えば、ＢチームとＤチームの試合結果はオの欄に記入しますが、オの欄は２つあります。このようにこの表は１試合の結果を２つの空欄に記入するようになっています。ですから試合数は空欄の数の半分（黄色の欄の数または赤色の欄の数）になります。

では、空欄はいくつあるか計算します。下の図のように、斜線の欄は試合がありませんので、左に詰めます（赤色の欄を各々１つ左に移動します）。

すると、下の表のようになります。ここで、縦はチーム数の６，横は斜線の欄すなわち１減りますので６－１＝５となります。

欄の数は ６×（６－１）＝３０、

試合数は欄の数の半分ですから ３０÷２＝１５、

よって試合数は１５試合となります。

以上が、表（リーグ表）を利用する試合数の求め方です。

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図を利用して求める

次に図を利用して求めてみます。

下の図を見てください。赤色の図は左のＡチームは赤線で結ばれている右側のＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ のチームと試合をするということを表しています。Ａチームは自身以外のチーム、すなわち ６－１＝５試合行います。他の５つの黒色の図に関しても同じことを表しています。

上記のことから、Ａチームは５試合、Ｂ～Ｆチームも各々５試合、よって試合数は５試合を６チームが行うので、５×６＝３０ としたいのですが、下の図を見てください。

赤色の線は「Ａ対Ｃ」と「Ｃ対Ａ」を２試合と数えています。しかし実際は「ＡとＣは１試合」です。

同様に、青色のＢとＥも２試合と数えているが実際は１試合、黄色のＤとＦも２試合と数えているが実際は１試合、と先ほどの計算で出した３０は全て１つの試合を２度数えています。

ですから３０÷２＝１５が試合数となります。

まとめますと、６チームで試合をする場合、１チームは自身以外のチームと試合する、すなわち５試合するので

（６－１）×６＝３０

これだと、例えば、「Ａ対Ｃ」と「Ｃ対Ａ」を２試合と数えているので

３０÷２＝１５

よって試合数は１５試合となります。

以上のように、リーグ戦の試合数は、表または図を利用して求めることができます。

表の方がわかりやすいのですが、数学で学習する確率・組み合わせの単元では複雑な問題も学習し、図を利用しないと答えを求めることができません。

ですから、表だけでなく図を利用した考え・計算も理解して覚えてください。

なお、複雑な問題ほど、計算の正確さとスピードは重要です。

考え方は正しいのに計算間違いすると、自信がなくなってしまいます。

また計算が遅いと試験時間内に全ての問題を解くことができません。

『デイリー算数』のような問題集で小学生のうちから計算力をつけておきましょう。

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